Algebraens fundamentalsætning

Algebraens fundamentalsætning siger, at ethvert n'te-gradspolynomium i de komplekse tal har en rod. Ja faktisk netop n rødder (regnet med multiplicitet).

Figuren illustrerer et (aldeles ikke-algebraisk) bevis for denne sætning (for et tredjegradspolynomium). Man forestiller sig at den uafhængige variabel, z, gennemløber en cirkel med radius, r. For meget store r må funktionsværdien, f(z), gennemløbe en lukket kurve, som går tre gange rundt om 0. Det skyldes, at højestegradsleddet her er alt-dominerende.

Lader vi nu r skrumpe ind, så den til sidst nærmer sig 0, så vil den kurve, f(z) gennemløber, skrumpe ind mod det komplekse tal, som er 0'te-gradsleddet i polynomiet. Men det betyder jo at kurven på et eller andet tidspunkt må krydse gennem 0. Aha, altså en rod!

På figuren er z-cirklen blå og f(z)-kurven er rød.

Figure figure = Position [0,0] Size[x,y*7/8] Origin[x/2,y*7/16] Unit x/20 Color "white"; Axes axes = Color "black"; Grid grid = Color "blue"; //Units units = Color "black"; Function pol( Number r, Number t ) = [.1*r^3*cos(3*t)-0.05*r^2*cos(2*t)+r*0.05*cos(t)-2, .1*r^3*sin(3*t)-0.05*r^2*sin(2*t)+r*0.05*sin(t)+1]; SlidePot r = From 0 To 4 Initial 3.5 Position [20,y-20] Size [300,0]; Text rtxt = "r = r,2" Offset [350,y-15] Color "black"; ParametricCurve z = [cos(t),sin(t)]*r From 0 To 2*pi Size 1.5 Color "blue"; ParametricCurve fz = pol(r,t) From 0 To 2*pi Size 1.5 Color "red";